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  群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构;是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。运动群亦称正交变换群或度量群。简称正交群。一类基本的变换群。即全体正交变换所构成的变换群。

  双曲运动群(hyperbolic motion group)一种运动群。即构成双曲几何的运动群。

  双曲运动群(hyperbolic motion group)一种运动群。即构成双曲几何的运动群。在射影平面上取一条非退化的实二阶曲线

  作为绝对形,关于实二阶曲线k的自同构变换称为双曲射影运动。具有公共绝对形的双曲射影运动的全体构成射影变换群的一个子群,称为双曲运动群。研究在双曲运动群下不变性质与不变量的几何称为双曲几何,或称罗氏几何。

  群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构;是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

  设G为一个非空集合,a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”,运算结果称为“乘积”)满足:

  (3)对G中任意元素a、b,在G中存在惟一的元素x,y,使得a·x= b,y·a=b,则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如,所有不等于零的实数,关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法),构成一个群。

  群是数学最重要的概念之一,已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称,就存在群。例如,可以用研究图形在变换群下保持不变的性质,来定义各种几何学,即利用变换群对几何学进行分类。可以说,不了解群,就不可能理解现代数学。

  1770年,拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时,首先引入群的概念,而它的名称,是伽罗华在1830年首先提出的。

  运动群亦称正交变换群或度量群。简称正交群。一类基本的变换群。即全体正交变换所构成的变换群。例如,平面上全体正交变换的集合构成平面上的正交群,空间中正交变换的全体构成空间中的正交群。平面上(空间中)的正交群是平面上(空间中)仿射群的子群。研究正交群下不变性质与不变量的几何称为欧氏几何或度量几何。

  变换群是几何学研究的重要对象。即由变换构成的群。设G是集合S的一一变换所构成的集合,若它满足:

  则称G为S的一个变换群。例如,平面上正交变换的全体构成的变换群称为正交群;平面上仿射变换的全体构成的变换群称为仿射群。平面上射影变换的全体构成的变换群称为射影群。在“埃尔朗根纲领”中,变换群可用来对几何学进行分类。

  一组变换,对变换的乘积构成的群.设G为M上的有限或无限个变换的集合,若满足下面两个条件:①集合G中任意两个变换的乘积仍属于G;②集合G中每一个变换必有其逆变换,而且这个逆变换也属于G,则称G为M上的一个变换群。

  例如,平移变换可以构成一个群:平面上任意两个平移变换的积仍是平移变换;每个平移变换都有逆变换,这个逆变换就是按原变换相反方向的变换,所以仍是平移变换。

  用变换群来研究对应的几何学的观点,是由德国数学家克莱茵首先提出来的.1872年,克莱茵在埃尔朗根大学的教授就职演讲中,提出题为《关于近代几何研究的比较》的论文,论述了变换群在几何中的主导作用.他把到当时为止已发现的所有的几何,统一在变换群的观点之下,明确地给出了几何的一种新定义,即把几何定义为在某个变换群之下研究图形不变性质与不变量的一门科学.这种观点突出了变换群在研讨几何中的地位,为用近代数学方法研究几何学开辟了道路,因此后来把它简称为《埃尔朗根纲领》。

  按照变换群的观点,几何学可以这样分类:研究射影变换群仿射变换群相似变换群正交变换群下不变性质和不变量的几何学分别是射影几何学、仿射几何学、抛物几何学、欧氏几何学。正交变换群也称为运动群,欧氏几何学的主要内容就是研究运动群下不变性质和不变量的几何学.近代发展很快、应用越来越广的一门学科——拓扑学,就是研究拓扑变换下不变性质和不变量的几何学。9992019银河国际

  射影变换群简称射影群。9992019银河国际一类基本的变换群。即由射影空间中全体射影变换所构成的变换群。例如平面上全体射影变换构成平面上的射影群。空间中全体射影变换构成空间中的射影群。研究在射影群下不变性质与不变量的几何称为射影几何。

  射影平面亦称二维射影空间。射影几何研究的基本对象。指二维(平面)射影几何的全体点的集合。9992019银河国际欧氏平面(或仿射平面)添加一条直线(即无穷远直线)后称为扩大平面。把扩大平面上的普通元素(点和直线)和无穷远元素不加区别同等看待,这平面就成为射影平面的一个模型。反过来,若在一个射影平面上任意取定一条直线,把它当做无穷远直线,并把这直线上的点当做无穷远点,而将其余的直线和点都当做有穷直线和有穷点,则该平面就可看做一个欧氏平面(或仿射平面)的扩大平面,即去掉了无穷远点的全体有穷点的集合是欧氏平面(仿射平面)。射影平面具有与欧氏平面(仿射平面)不同的性质。例如在射影平面上,任何一条直线都不能把射影平面分成两部分,任何两条直线都相交,但它们却不能把射影平面分成四部分。

  非欧几何是改换欧几里德几何学中的第五公设所建立的新几何学。欧氏几何第五公设是:若一直线与两直线相交,且同侧所交的两内角之和小于两直角,则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。该公设常被后来由普莱费尔所给出的平行公理(一个过直线外一点有而且只有一条直线平行于已知直线)所代替。非欧几何有两种形式。如果把平行公理改换成:过直线外一点至少可以引两条直线平行于已知直线,则得到罗巴切夫斯基几何,又称双曲几何。如果把平行公理改换成过直线外一点不存在平行于已知直线的直线,则得到黎曼几何,又称椭圆几何。

  非欧几何建立于19世纪初。双曲几何是由高斯罗巴切夫斯基鲍耶三人在前人研究的基础上,几乎同时创立的。数学史上第一篇公开发表的关于非欧几何的文献是罗巴切夫斯基于1829年发表在《喀山通讯》 上的“几何学原理”一文。罗巴切夫斯基为非欧几何的建立和发展倾注了毕生的精力,作出了卓越的贡献。人们为了纪念他,常把这种新几何学叫罗巴切夫斯基几何学。另一种形式的非欧几何则是黎曼于1854年建立的。

  非欧几何反映了现实世界,特别是大质量、高速度的恒星世界和原子内部的微观世界的空间形式,是建立相对论的数学工具。它在天体物理和原子物理中得到广泛运用。非欧几何的建立不仅促进了数学特别是纯数学的重要部分一数学基础的研究,而且,在哲学方面,改变了人们对数学性质以及数学与物理世界关系的看法。它反映出物质的空间特性是极为丰富的,空间的几何性质依赖于空间的物理性质。

  李永福. 双曲空间运动群Lie子群作用的轨道[J]. 湖州师专学报,1990,(05):20-30. [2017-09-20].

  李永福. 双曲运动群的单参数子群及其轨道[J]. 湖州师专学报,1988,(06):9-19. [2017-09-20].

  《数学辞海》委员会. 数学辞海(1-6).第5卷[M]. 中国科学技术出版社, 2002.

  李永福. B-型双曲运动与Lorentz群[J]. 湖州师专学报,1988,(05):12-20. [2017-09-20].

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