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  展开全部量子化学维基,人人都可编辑的量子化学百科全书。 Jump to: navigation, search Template:Zhwp 在数学领域,希尔伯特空间 希尔伯特空间是欧几里德空间的一个推广,其不再 希尔伯特空间 局限于有限维的情形。与欧几里德空间相仿,希尔伯特空间也是 一个内积空间,其上有距离和角的概念(及由此引伸而来的正交 性与垂直性的概念) 此外, 。 希尔伯特空间还是一个完备的空间, 其上所有的柯西列等价于收敛列, 从而微积分中的大部分概念都 可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。 希尔伯特空间为基于任意 正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种 有效的表述方式,而这也是泛函分析的核心概念之一。希尔伯特 空间是公式化数学和量子力学的关键性概念之一。

  希尔伯特空间以大卫·希尔伯特的名字命名,他在对积分方程的 研究中研究了希尔伯特空间。 冯·诺伊曼在其 1929 年出版的关于 无界厄米算子的著作中,最早使用了“希尔伯特空间”这个名词。 冯·诺伊曼可能是最早清楚地认识到希尔伯特空间的重要性的数 学家之一, 他在进行对量子力学的基础性和创造性地研究的时候 认识到了这一点。此项研究由冯·诺伊曼与希尔伯特和朗道展开, 随后由尤金·维格纳(Template:Lang)继续深入。“希尔伯特空

  间”这个名字迅速被其他科学家所接受, 例如在外尔 1931 年出版 的著作《群与量子力学的理论》(Template:Lang)中就使用这 一名词,此书的英文平装版 ISBN 编号为 0486602699。 一个抽象的希尔伯特空间中的元素往往被称为向量。 在实际应用 中,它可能代表了一列复数或是一个函数。例如在量子力学中, 一个物理系统可以被一个复希尔伯特空间所表示, 其中的向量是 描述系统可能状态的波函数。 详细的资料可以参考量子力学的数 学描述相关的内容。 量子力学中由平面波和束缚态所构成的希尔 伯特空间,一般被称为装备希尔伯特空间(rigged Hilbert space)。

  在一个复向量空间 H 上的给定的内积 .,. 可以按照如下的方 式导出一个范数(norm) :

  此空间称为是一个希尔伯特空间, 如果其对于这个范数来说是完 备的。这里的完备性是指,任何一个柯西列都收敛到此空间中的 某个元素,即它们与某个元素的范数差的极限为 0。任何一个希 尔伯特空间都是巴拿赫空间,但是反之未必。 任何有限维内积空间(如欧几里德空间及其上的点积)都是希尔 伯特空间。但从实际应用角度来看,无穷维的希尔伯特空间更有 价值,例如

  酉群(unitary group)的表示论。 平方可积的随即过程理论。 偏微分方程的希尔伯特空间理论,特别是狄利克雷问题。 函数的谱分析及小波理论。 量子力学的数学描述。 内积可以帮助人们从“几何的”观点来研究希尔伯特空间,并使用 有限维空间中的几何语言来描述希尔伯特空间。 在所有的无穷维 拓扑向量空间中,希尔伯特空间性质最好,也最接近有限维空间 的情形。 傅立叶分析的一个重要目的是将一个给定的函数表示成一族给 定的基函数的和(可能是无穷和)。这个问题可以在希尔伯特空 间中更抽象地描述为: 任何一个希尔伯特空间都有一族标准正交 基, 而且每个希尔伯特空间中的元素都可以唯一地表示为这族基 中的元素或其倍数的和。

  在以下例子中,假设所有的希尔伯特空间都是复的,尽管实际应 用中大多是实的。

  更一般的希尔伯特空间都是无穷维的,假设 B 是一个任意集合, 可以定义其上的 l2 序列空间,记为

  其中 x 和 y 是 l2(B)中的任意元素。9992019银河国际登录在这个定义中,B 并非一定要 是可数的,在 B 不可数之情形下,l2(B)不是可分(separable) 的。在下面更具体的例子中,所有的希尔伯特空间在选定适当的 B 的情况下,都可以表示成为 l2(B)的一个同构空间。特别地,当 的时候,可以将其简单记为 l2。

  勒贝格空间是指与一个测度空间(measure spaces)(X,m,)相 关的函数空间,其中 M 是一个 X 上 σ-代数(西格玛代数)的一 个子集,而 是 M 上一个具有可数可加性的测度。

  L2((X))表示 X 上所有在几乎处处(almost everywhere)意义下 平方可积(square-integrable)的复值的可测函数(measurable function)的集合。平方可积表示该函数的绝对值的平方的积分是 有限的。几乎处处意义下指的是两个函数如果只在一个测度为 0 的集合上不相等,那么就认为其是该空间中相同的元素。 此时两个函数 f 和 g 的内积表示为

  但需要证明的是: 此积分是有意义的。 此空间在此内积意义下是完备的。 这个证明可以在相关的书籍中找到, 与此例相关的内容可以参看 关于 Lp 空间的著作。

  索伯列夫空间一般表示为 Hs 或者 Ws,2 是希尔伯特空间的另一个 重要实例,它多被应用于偏微分方程的研究。

  给定任意两个(或更多)希尔伯特空间,利用直和或张量积的方 式,可以给出一个更大的希尔伯特空间。

  希尔伯特空间的一个中间概念是标准正交基, 即其上的一族函数 满足: 所有元素都是单位化的: 即对于任意 x, , 。

  所有元素彼此正交:若 x 和 y 是这族基中的不同元素,那 么 x,y = 0。 其线性扩张稠密:即其中的所有元素的有限的线性组合是 H 的一个稠密子集。 有时也使用标准正交列或标准正交集指代。 标准正交基的一些实例: 集合{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}构成了 序列 的一个标准正交基。

  构成了 l2(B)的一个标准正交基。 在无穷维的情形下, 希尔伯特空间的一族标准正交基不是线性代 数意义下的一族基,为了加以区分,后者常常被称为 Hamel 基 (Hamel basis)。 利用佐恩引理(Zorns lemma)可以证明,任何一个希尔伯特空 间都有一个标准正交基。更进一步,一个希尔伯特空间的任何两

  组标准正交基都有相同的势(cardinality)。一个希尔伯特空间 是可分的,当且仅当它有一族可数的标准正交基。 因为所有的无穷维希尔伯特空间彼此同构, 并且几乎所有在物理 中有应用价值的希尔伯特空间都是可分的, 所以在物理学中提到 的希尔伯特空间默认指可分的希尔伯特空间。 如果 是希尔伯特空间 H 的一族标准正交基, H 中任何 则

  即便 B 不可数,上述求和中也至多有可数项非 0,所以此定义是 合理的。这个求和也被称为 x 的傅立叶展开。 如果 是希尔伯特空间 H 的一族标准正交基, 那么 H 在下 是一个双射并且对于所

  如果 S 是希尔伯特空间 H 的一个子集,那么 H 中一个向量 x 称 为垂直于 S,如果

  本身是 H 的一个闭线性子空间,所以也成为一个新的希尔伯 特空间。 特别地, 如果 S = V 是 H 的一个闭线性子空间, 那么

  称为 V 的一个正交补。事实上,H 中的任何向量 x 均可以唯一地 表示为 x = v + v, 其中 的一个直和。线性算子 果 PV(x) = v。 定理 正交投影 PV 是一个自伴(self-adjoint)的线性算子,其范 数 ,并且 PV 是幂等(idempotent)的,即 。 。 所以, 也就成为 V 和 H 称为 H 到 V 的一个投影,如

  更进一步,所有幂等的自伴线性算子 E,都可以表示为某个投影 算子 PV,其中 V 是 E 的值域。对于任意的 距离 最小的唯一元素。 ,PV(x)是使得

  希尔伯特空间的一个重要性质是自反性: 一个希尔伯特空间上所 有的线性函数,即将此空间的元素线性地映射到其基域(base field)的所有函数,所所构成的空间也是一个希尔伯特空间。而 黎茨表示定理(Riesz representation theorem)说明,对于 H 的对偶空间 H中的任何一个元素 Φ 而言,在 H 存在一个唯一的 元素 u,对于所有的 满足

  种对应关系最早被物理学家以 bra-ket 记号的方式采用,但并不 为数学家们所肯定。

  对于一个给定的希尔伯特空间 H,一个连续的线性算子 有许多良好的性质, 这样的连续算子将一个有界的集 合映为一个有界的集合,所以亦称有界线性算子。由此可以定一 个算子的范数:

  两个连续线性算子的和与复合仍然是连续线性算子。对于任一 ,可以由其定义一个线性映射,将 并且根据黎茨表示定理,可以写为 映为 y,Ax ,

  如果用 L(H)表示 H 上的所有连续线性映射,并利用其上的算子 相加、复合的运算,及范数结构和共轭运算,可以定义一个 C* 代数(C * -algebra)。事实上这也是 C*代数研究的最初样本和 最重要的例子。 L(H)中一个元素 A 被称为“厄米”的,如果 A = A * 。这类算子与 实数的许多性质类似,在某些情况下也可以看作实数的推广。 L(H)中一个元素 U 被称为“酉”的,9992019银河国际登录 如果 U 可逆, 并且 U 1 = U * 。 酉算子的一个等价条件是对于任意的 ,都有 Ux,Uy

  = x,y 。在算子复合意义下,所有酉算子构成一个群,这个群 也可以被看作是 H 的内自同构群(automorphism group)。

  如果一个线性算子的定义在整个希尔伯特空间上, 并且满足闭图 像性质,那么由巴拿赫空间上的闭图像定理可知,该算子一定是 有界的。 但如果允许在一个希尔伯特空间的真子集上定义一个线 性算子,那么则可以得到一个无界算子。 在量子力学中, 许多有价值的无界算子都定义在某个希尔伯特空 间的稠密子集上。事实上,也可以定义一个自伴的无界算子,这 类算子在量子力学的数学表述中起到了重要作用。 上的自伴无界算子的特例包括: 微分算子(differential operator)的延拓:

  其中 i 是虚单位,f 是一个紧支集的函数。 乘法算子(multiplication operator): [Bf](x) = xf(x) 这两个算子分别对应于动量和可观测位置。注意 A 和 B 都并非 定义于整个希尔伯特空间: 对于 A 来说, 某些函数的微分可不能

  存在;对于 B 来说,乘积函数可能并非平方可积。总之,对于 A 和 B 而言,其定义域都是希尔伯特空间的稠密子集。追问是里斯定理吗?????追答有限元法( 有限元分析(FEA), 其实际应用)是一个寻找近似解偏微分方程 有限元法(FEM) (经常被称为有限元分析 ) 有限元分析 (PDE),以及积分方程的数值方法。要么就彻底消除微分方程(稳态问题),或渲染成一个近似系 统的 PDE 常微分方程的数值,然后再使用标准的技术,如欧拉法,龙格-库塔等集成解决方案的方法 是基于 在求解偏微分方程,面临的主要挑战是建立一个方程,近似方程进行研究,但数值是稳定的,也就是 说,在输入和中间计算误差不积累和造成的输出结果是毫无意义的。有很多方法的优点和缺点,这样 做的所有。有限元方法是一个不错的选择,解决了复杂的领域(如汽车和石油管道),偏微分方程时 域变化(如固态反应过程中与移动边界),当所需的精度在整个域变化,或解决方案时缺乏平滑。例 如, 在正面碰撞模拟是有可能像前面的车“重要”的地区, 以增加预测的准确性和减少它在它的后方 (从 而降低成本的模拟)。另一个例子是,在数值天气预报,它更重要的是有准确的预测,对发展中国家 的高度非线性现象(如大气中的热带气旋,或漩涡在海洋中),而不是相对平静的地区。

  2.1 弱形式 2.2 A 的解决方案的存在性和唯一性的证明大纲 2.3 弱形式的 P2

  有限元方法起源于解决复杂的需求弹性和结构分析问题,民事和航空工程。它的发展可以追溯到工作 的,亚历山大 Hrennikoff(1941)和理查德·朗[ 1 ](1942)。虽然这些先驱者所使用的方法是不同的, 它们共享一个基本特征:网连续域离散成一组离散的子域,通常被称为元素。Olgierd Zienkiewicz 从 国子监在 1947 年开始,收集这些方法汇集成什么会被称为有限元方法,建立开拓方法的数学形式主 义。[ 2 ]

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